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Ejercicio 1: El salto en paracaídas
La figura 1 muestra a un paracaidista saltando desde una altura h
0
.
Figura 1: Salto en paracaídas
Tras el salto, el paracaidista cae hacia la tierra con una velocidad creciente.
La velocidad de caída aumenta hasta que el peso (P = mg) y la fuerza de arrastre F
L
están
en equilibrio. A la altura h
1
, el paracaidista abre el paracaídas, lo que hace que la fuerza
de arrastre aumente considerablemente y que la velocidad de caída disminuya como se
desea.
Definiciones y valores numéricos:
h Altura del paracaidista desde el suelo
h
0
= 3000 m Altura inicial del salto
h
1
= 1500 m Altura de apertura del paracaídas
As = 0,5 m
2
Superficie cubierta por el paracaidista en el aire
A
FS
= 30 m
2
Superficie cubierta por el paracaídas en el aire
m = 85 kg Masa del paracaidista
C
W
= 1,3 Coeficiente de arrastre (mismo valor para el paracaidista y el paracaídas)
ρ= 1,2 kg/m
3
Densidad del aire (considerada como constante)
g = 9,81m/s
2
Aceleración de la gravedad
F
L
la fuerza de arrastre
1.1 Ecuación de movimiento
Para determinar la ecuación del movimiento, las masas y las fuerzas implicadas se
representan en un sistema pseudoaislado (véase la figura 1).
El peso P = mg está dirigido hacia abajo, la fuerza de arrastre F
L
está dirigida hacia
arriba, y aplicando el principio de D'Alembert, obtenemos que la fuerza F = m ̈
que debe aplicarse al paracaidista para mantener el sistema en equilibrio debe estar
dirigido hacia abajo (orientado en contra de la dirección positiva).
La altura h es la coordenada utilizada aquí para describir el movimiento.
En la posición de equilibrio según el principio de D'Alembert tenemos :
m
= F
L
– m*g (1)
con la fuerza de arrastre F
L
= C
w
*A*
*v
2
(2)
que es proporcional al cuadrado de la velocidad v = ḣ
La ecuación (1) es una ecuación diferencial que puede resolverse mediante varios
métodos, entre ellos el método analítico y el método numérico con Simulink.
En primer lugar se utilizará el método analítico para la solución de esta ecuación
diferencial, entonces se utilizará el método numérico con Simulink, este método
también permite la simulación y visualización del desplazamiento del paracaidista.
Después de eso tendrá una idea del rendimiento de Simulink
1.2 Método analítico
se calcula primero la velocidad constante del paracaidista que cae en caso de
paracaídas cerrado.
en caso de velocidad constante, la aceleración es cero (
.
Si
̈
= 0 entonces de (1) tenemos :
m*g = C
w
*A*
*v
2
(3)
Si aislamos v de (3) obtenemos :
V = ḣ = -
= -
= - 46,2 m/s = - 166,5 km/h (4)
El signo ''-'' delante del valor de v en (4) se debe a que la altura h disminuye durante
la caída (
es negativo).
Con
, la ecuación (1) también se puede escribir de la siguiente manera:
+ g – a*v
2
= 0 (5)
Con a =
=
=
=
(6)
De (5) obtenemos :
g – a*v
2
= -
(7)
= -
(8)
= - 1 (9)
Separando las variables (aquí la velocidad v y el tiempo t) obtenemos :
= - dt (10)
el cálculo de la integral de los dos miembros de la igualdad:
=
(11)
La integral
es del tipo
(12)
con A = - a = -
A < 0, B = 0, C = g.
Entonces tenemos 4AC - B
2
< 0,
por lo tanto
= I =
(13)
Deducimos que
=
=
(14)
De (11) tenemos :
=
=
-
=
-
=
-
=
-
=
porque
-=
= -
t = -
t =
t =
=
=
(15)
de (15) podemos determinar v como sigue :
puesto que 4AC - B
2
< 0 y que |x| = |(-1)x|, entonces =
=
=
ln(
)
=
ln(
)
=
(ln
)
=
( 0
)
=
=
=
=
= (
)
=
=
(16)
La ecuación (16) da la expresión de la velocidad de caída del paracaidista en
función del tiempo, a partir del momento del salto hasta un instante t y esto es
verificable:
En el momento del salto (t = 0), tenemos :
= 0 m/s
En un instante t = , tenemos :
= -
= -
(17)
Se encuentra la misma expresión que en (4).
Después de resolver la ecuación (1) mediante el método analítico, podemos ver
claramente que este método es bastante laborioso. Pasemos ahora al método
numérico con Simulink.
1.3 Método numérico con Simulink
1.3.1 Simulación de salto en paracaídas
Para realizar el modelo Simulink del salto en paracaídas,
en la ecuación (1) debe
ser aislado:
m
= F
L
– m*g
=
=
=
=
(18)
El bloque de funciones "Fcn" en Simulink realiza el lado derecho de la igualdad (18).
"Fcn" se conecta entonces al primer bloque integrador "Integrator1". "Integrator1"
se inicializa con
.
Figura 2: Modelo Simulink del salto en paracaídas (salto_en_paracaidas.mdl)
El bloque "Inegrator2" con salida h se inicializa con
. El conmutador, con la
entrada de control h, cambia la superficie de
à
cuando el paracaidista alcanza
la altura h = 1500 m. Con el bloque de funciones "Fcn1", la simulación se detiene
cuando el paracaidista alcanza la altura h = 0 (cuando el paracaidista toca el suelo).
La figura 3 muestra la velocidad de caída del paracaidista.
Figura 3: Visualización de la velocidad de caída del paracaidista en
función del tiempo
Con el paracaídas cerrado, el paracaidista alcanza la velocidad constante calculada en
(4) después de unos 25 s. A t = 36 s, la altura h del paracaidista es de 1500 m (véase la
figura 4) y el conmutador pasa a la gran superficie del paracaidista (el paracaídas está
abierto) y a partir de entonces la velocidad de caída disminuye considerablemente y
alcanza una velocidad constante de unos -6 m/s.
Figura 4: Visualización de la altura del paracaidista en función del tiempo
La aceleración del paracaidista (véase la figura 5) a t = 36 s no es realista
(extremadamente alta). Esto se debe a que la apertura del paracaídas se hizo con un
simple conmutador (cambio repentino de 0,5 m
2
a 30 m
2
en "Fcn"). Esto puede
mejorarse conectando la salida del conmutador con una función de transferencia
bien inicializada de un sistema de primer orden.
Figura 5: Visualización de la aceleración del paracaidista en función del tiempo
